Matematikos programa — 11 kl. (III gimn.)

Nagrinėjama realiųjų skaičių aibės struktūra. Apibrėžiama aibių sąjunga, sankirta ir skirtumas. Atliekami veiksmai su aibėmis. Praktikuojamasi veiksmus su aibėmis vaizduoti Veno diagramomis.

Nagrinėjama realiųjų skaičių aibės struktūra. Pateikiami baigtinių ir begalinių; diskrečiųjų ir tolydžiųjų (intervalų) skaičių aibių pavyzdžiai. Mokoma(si) reiškiniu užrašyti natūraliųjų skaičių, kuriuos dalijant iš nurodyto natūraliojo skaičiaus d gaunama nurodyta liekana $r$, aibę ($n\cdot d+r$, $n \in \mathbb{N}$). Apibrėžiama aibių sąjunga, sankirta ir skirtumas. Atliekami veiksmai su aibėmis. Praktikuojamasi veiksmus su aibėmis vaizduoti Veno diagramomis.

Apibrėžiama realiojo skaičiaus modulio sąvoka, paaiškinama jo geometrinė prasmė. Pavyzdžiais pagrindžiamos modulio savybės: $\left| -a \right|=\left| a \right|$, ${\left| a \right|}^{2}={a}^{2}$, $\left| a-b \right|=\left| b-a \right|$. Mokoma(si) apskaičiuoti skaitinių reiškinių su moduliais reikšmes, traukti kvadratinę šaknį iš antrojo laipsnio: $\sqrt{{a}^{2}}=\left| a \right|$.

Apibrėžiama realiojo skaičiaus modulio sąvoka ir paaiškinama jo geometrinė prasmė. Braižomas $y=\left| x \right|$ grafiko eskizas. Mokoma(si) užrašyti lygties $\left| x \right|=a$ ir nelygybės $\left| x \right|\lesseqgtr a$ ($a\in \mathbb{R}$) sprendinių aibes. Pavyzdžiais pagrindžiamos modulio (ir veiksmų su moduliais) savybės: $\left| -a \right|=\left| a \right|$, ${\left| a \right|}^{2}={a}^{2}$, $\left| a-b \right|=\left| b-a \right|$, $\left| a\cdot b \right|=\left| a \right|\cdot \left| b \right|$, $\left| a :b \right|=\left| a \right| :\left| b \right|$. Mokoma(si) apskaičiuoti skaitinių ir raidinių reiškinių su moduliais reikšmes, traukti lyginio laipsnio šaknį iš lyginio laipsnio: $\sqrt{{a}^{2}}=\left| a \right|$ ir $\sqrt[2n]{{a}^{2n}}=\left| a \right|$, kai $n\in \mathbb{N}$.

Apibendrinant šaknies sąvoką, pateikiamas n-tojo ($n\in \mathbb{N}$, $n>1$) laipsnio šaknies apibrėžimas. Išsiaiškinama, pagrindžiama, kaip iracionalieji skaičiai $\sqrt{a} \left( a\in \mathbb{N} \right)$ atidedami skaičių tiesėje. Praktikuojamasi skaičiuotuvu rasti apytikslę duotojo iracionaliojo skaičiaus $\sqrt[n]{a}$ reikšmę. Aiškinamasi, kad n-tojo ($n\in \mathbb{N}$, $n>3$) laipsnio šaknims būdingos antrojo ir trečiojo laipsnių šaknų (ir veiksmų su jomis) savybės:$\sqrt[ n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}$, $\sqrt[n]{a} :\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a :b}$, $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n \cdot m]{a}$. Mokoma(si) šias savybes taikyti, apskaičiuojant skaitinių reiškinių su šaknimis reikšmes, skaičių įkeliant po n-tojo laipsnio šaknimi ir iškeliant jį prieš šaknies ženklą. Mokoma(si) trupmenos vardiklyje panaikinti iracionalumą, kai vardiklyje yra iracionalieji skaičiai $\sqrt{a}$, $\sqrt{a}+b$, $\sqrt{a}-b$.

Įrodoma, kad skaičius $\sqrt{2}$ yra iracionalusis. Apibendrinama šaknies sąvoka, pateikiant $n$-tojo ($n\in \mathbb{N}$, $n>1$) laipsnio šaknies apibrėžimą. Aiškinama(si), kada $n$-tojo laipsnio šaknys turi prasmę. Mokoma(si), nesinaudojant skaičiuotuvu, nustatyti, tarp kokių gretimų sveikųjų skaičių yra duotasis iracionalusis skaičius $\sqrt[n]{a}$, palyginti tokio pavidalo skaičius; naudojantis skaičiuotuvu, rasti apytikslę dešimtainę duotojo iracionaliojo skaičiaus $\sqrt[n]{a}$ reikšmę. Aiškinama(si), kad $n$-tojo ($n\in \mathbb{N}$, $n>3$) laipsnio šaknims ir veiksmams su jomis būdingos antrojo ir trečiojo laipsnių šaknų ir veiksmų su jomis savybės: $\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}$, $\sqrt[n]{a} :\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a :b}$ ($b\neq 0$), $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n \cdot m]{a}$ ($n, m\mathbb{ \in N, }n>1$); $\sqrt[2n]{{a}^{2n}}=\left| a \right|$, $\sqrt[2n+1]{{a}^{2n+1}}=a$ ($n\mathbb{\in N}$). Mokoma(si) šias savybes pagrįsti, įrodyti ir taikyti skaičiuojant: skaitinių reiškinių su šaknimis reikšmes, naikinant šaknis trupmenos vardiklyje (kai vardiklyje yra $\sqrt{a}$, $\sqrt{a} \pm b$, $\sqrt{a} \pm \sqrt{b}$, $\sqrt[3]{a}$), pertvarkant raidinius reiškinius su šaknimis.

Aiškinama(si) laipsnio su racionaliuoju rodikliu ${a}^{\frac{m}{n}}$ ($a>0$, $a\neq 1$, $m\mathbb{\in Z}$, $n\mathbb{\in N}$, $n>1$) samprata, įsitikinama laipsnį su racionaliuoju rodikliu ir šaknį siejančios lygybės ${a}^{\frac{m}{n}}= \sqrt[n]{{a}^{m}}$ teisingumu (keliant abi lygybės puses $n$-tuoju laipsniu). Mokoma(si) ja naudotis, pertvarkant skaitinius reiškinius su šaknimis ir laipsniais. Pagrindžiama, kodėl laipsniams su racionaliaisiais rodikliais (ir veiksmams su tokiais laipsniais) būdingos laipsnių su natūraliaisiais rodikliais (ir veiksmams su tokiais laipsniais) savybės: ${a}^{n}\cdot {a}^{m}={a}^{n + m}$, ${a}^{n} :{a}^{m}={a}^{n - m}$, ${\left( {a}^{m} \right)}^{n}={a}^{m \cdot n}$, ${\left( a\cdot b \right)}^{m}={a}^{m}\cdot {b}^{m}$, ${\left( a :b \right)}^{m}={a}^{m}: {b}^{m}$. Mokoma(si) skaičiuotuvu rasti laipsnio su racionaliuoju rodikliu dešimtainę apytikslę reikšmę, taikyti laipsnių ir veiksmų su laipsniais savybes skaitiniams reiškiniams pertvarkyti.

Įrodomos sumos ir skirtumo kubo, kubų sumos ir kubų skirtumo formulės. Mokoma(si) naudotis šiomis formulėmis, dvinarį keliant trečiuoju laipsniu ir daugianarį skaidant dauginamaisiais. Aiškinama(si) laipsnio su racionaliuoju rodikliu ${a}^{\frac{m}{n}}$ ($a>0$, $a\neq 1$, $m\mathbb{\in Z}$, $n\mathbb{\in N}$, $n>1$) samprata, įsitikinama laipsnį su racionaliuoju rodikliu ir šaknį siejančios lygybės ${a}^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{{a}^{m}}$ teisingumu (keliant abi lygybės puses $n$-tuoju laipsniu). Aiškinamasi, kada (ir kodėl) tokie laipsniai neturi prasmės. Mokoma(si) nustatyti, tarp kokių gretimų sveikųjų skaičių yra duotasis laipsnis su racionaliuoju rodikliu, palyginti tokius laipsnius. Naudojantis skaičiuotuvu, mokoma(si) rasti apytikslę dešimtainę duotojo laipsnio su racionaliuoju rodikliu reikšmę. Pagrindžiama ir įrodoma, kad laipsniams su racionaliaisiais rodikliais (ir veiksmams su tokiais laipsniais) būdingos laipsnių su natūraliaisiais rodikliais (ir veiksmų su tokiais laipsniais) savybės: ${a}^{b}\cdot {a}^{c}={a}^{b + c}$, ${a}^{b} :{a}^{c}={a}^{b-c}$,${\left( {a}^{b} \right)}^{c}={a}^{b \cdot c}$, ${\left( a\cdot b \right)}^{c}={a}^{c}\cdot {b}^{c}$, ${\left( a :b \right)}^{c}={a}^{c} :{b}^{c}$, ${\left( \sqrt[n]{a} \right)}^{m}=\sqrt[n]{{a}^{m}}$, ${\left| a \right|}^{2n}={a}^{2n}$ ($n\mathbb{\in N}$). Mokoma(si) skaičiuotuvu rasti laipsnio reikšmę, taikyti laipsnių su racionaliaisiais rodikliais savybes skaitiniams ir raidiniams reiškiniams pertvarkyti.

Apibrėžiamos sąvokos: skaičiaus logaritmas, dešimtainis logaritmas. Praktikuojamasi skaičiuotuvu rasti apytikslę logaritmo reikšmę. Pateikiama ir skaitiniais pavyzdžiais iliustruojama pagrindinė logaritmų tapatybė ${a}^{{\log}_{a}(b)}=b$ ($a >0$, $b>0$, $a\neq 1$). Įrodomos ir pagrindžiamos veiksmų su logaritmais savybės: $\log_{c} (a)+\log_{c} (b)=\log_{c} \left( a\cdot b \right)$, $\log_{c} (a)-\log_{c} (b)=\log_{c} \left( a :b \right)$, $k\cdot \log_{c} (a)=\log_{c} \left( {a}^{k} \right)$ ($a >0$, $b>0$, $c>0$, $c\neq 1$, $k\in \mathbb{Q}$), paaiškinant, kad šias lygybes galima taikyti ir atbulai. Mokoma(si) šias savybes taikyti, skaičiuojant skaitinių reiškinių su logaritmais reikšmes.

Apibrėžiama skaičiaus logaritmo sąvoka. Įvedamas iracionalusis skaičius e. Apibrėžiama dešimtainio ir natūraliojo logaritmo sąvoka. Aptariama, kokioms skaičių aibėms priklauso su log ženklu rašomi skaičiai. Mokoma(si) skaičiuotuvu rasti apytikslę logaritmo reikšmę. Pateikiama ir skaitiniais pavyzdžiais iliustruojama pagrindinė logaritminė tapatybė ${a}^{{\log}_{a}(b)}=b$, ($a >0$, $b >0$, $a \neq 1$). Pagrindžiamos veiksmų su logaritmais savybės: $\log_{c} (a)+\log_{c} (b)=\log_{c} \left( a\cdot b \right)$, $\log_{c} (a)-\log_{c} (b)=\log_{c} \left( a :b \right)$, $d\cdot \log_{c} (a)=\log_{c} \left( {a}^{d} \right)$, $\frac{\log_{c} (a)}{\log_{c} (b)}=\log_{b} (a)$, $\frac{1}{t}\cdot \log_{b} \left( a \right)=\log_{{(b}^{t})} \left( a \right)$ ($a >0$, $b>0$, $c>0$, $c\neq 1$, $t\neq 0$). Mokoma(si) šias savybes įrodyti ir taikyti, apskaičiuojant skaitinių reiškinių su logaritmais reikšmes bei pertvarkant raidinius logaritminius reiškinius.

Apibrėžiamas posūkio kampas, vienetinis apskritimas. Naudojantis vienetiniu apskritimu, apibrėžiamas posūkio kampo sinusas ir kosinusas. Praktikuojamasi, naudojantis vienetiniu apskritimu, apskaičiuoti tikslias sinuso ir kosinuso reikšmes, kai posūkio kampas lygus ±0º, ±30º, ±45º, ±60º, ±90º, ±120º, ±135º, ±150º, ±180º, ±210º, ±225º, ±240º, ±270º, ±300º, ±315º, ±330º, ±360º. Tuo pačiu metodu parodoma, kad skaičiai $\sin \left( \alpha \right)$ ir $\cos \left( \alpha \right)$ turi prasmę su visomis realiosiomis $\alpha$ reikšmėmis, kodėl $\sin \left( \alpha \right)$ ir $\cos \left( \alpha \right)$ reikšmės kartojasi kas $360^\circ$ ir visuomet priklauso intervalui $\left[ -1;1 \right]$. Įrodomos formulės: $\sin \left( -\alpha \right)=-\sin \left( \alpha \right)$, $\cos \left( -\alpha \right)=\cos \left( \alpha \right)$, $\sin \left( \alpha +360^\circ \cdot k \right)=\sin \left( \alpha \right)$, $\cos \left( \alpha +360^\circ \cdot k \right)=\cos (\alpha )$, $k\mathbb{\in Z}$, ir mokoma(si) jas taikyti. Apibrėžiami skaičiai $\arcsin (a)$ ir $\arccos \left( a \right)$, pagrindžiant, kodėl $\arcsin \left( a \right)\in \left[ -90^\circ ; 90^\circ \right]$, $\arccos \left( a \right)\in \left[ 0^\circ ; 180^\circ \right]$, o arksinusas ir arkkosinusas turi prasmę, kai $a\in \left[ -1; 1 \right]$. Praktikuojamasi apskaičiuoti tikslias ir apytiksles sinuso, kosinuso ir arksinuso, arkkosinuso reikšmes.

Apibrėžiamas vienetinis apskritimas, posūkio kampas, tangentų tiesė beį posūkio kampo sinusas, kosinusas ir tangentas. Aiškinama(si), kad kampų dydžiai gali būti reiškiami ne tik laipsnių skaičiumi, bet ir radianų skaičiumi. Mokoma(si) laipsnių skaičių keisti radianų skaičiumi ir atvirkščiai – radianų skaičių keisti laipsnių skaičiumi. Praktikuojamasi, naudojantis vienetiniu apskritimu bei tangentų tiese, apskaičiuoti tikslias sinuso, kosinuso ir tangento reikšmes, kai posūkio kampas lygus 0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150, 180, 210, 225, 240, 270, 300, 315, 330, 360. Tuo pačiu metodu parodoma, kad skaičiai $\sin (\alpha )$ ir $\cos (\alpha )$ turi prasmę su visoms $\alpha$ realiosioms reikšmėms, kodėl $\sin (\alpha )$ ir $\cos (\alpha )$ reikšmės kas $360^\circ$ kartojasi ir visuomet priklauso intervalui $\left[ -1;1 \right]$. Aptariama, kodėl $\operatorname{tg} (\alpha )$ reikšmės yra intervalo $\left( -\infty ;+\infty \right)$ skaičiai ir kodėl jos kartojasi kas 180 $^\circ$. Įrodomos formulės: $\sin \left( -\alpha \right)=-\sin (\alpha )$, $\cos \left( -\alpha \right)=\cos (\alpha )$, $\operatorname{tg} \left( -\alpha \right)=-\operatorname{tg} (\alpha )$, $\sin \left( \alpha +2\pi k \right)=\sin (\alpha )$, $\cos \left( \alpha +2\pi k \right)=\cos (\alpha )$, $\operatorname{tg} \left( \alpha +\pi k \right)=\operatorname{tg} (\alpha )$ ($k\mathbb{\in Z}$). Mokoma(si) šias formules taikyti. Apibrėžiami skaičiai $\arcsin (a)$ ir $\arccos (a)$, pagrindžiant, kodėl $\arcsin (a)\in \left[ -\frac{\pi }{2}; \frac{\pi }{2} \right]$, $\arccos (a)\in \left[ 0;\pi \right]$ ir arksinusas bei arkosinusas turi prasmę, kai $a\in \left[ -1;1 \right]$. Apibrėžiami skaičiai $\operatorname{arctg} (a)$, pagrindžiant, kodėl $\operatorname{arctg} (a)\in \left( -\frac{\pi }{2 };\frac{\pi }{2 } \right)$ ir arktangentas turi prasmę, kai $a\mathbb{\in R}$. Praktikuojamasi apskaičiuoti tikslias ir apytiksles (naudojantis skaičiuotuvu) sinuso, kosinuso, tangento ir arksinuso, arkkosinuso, arktangento reikšmes.

Apibrėžiama skaičių seka, skaičių sekos pirmasis narys, $n$-tasis narys, begalinė skaičių seka, baigtinė skaičių seka. Mokoma(si) skaičių sekas nurodyti $n$-tojo nario formule, rekurentiniu būdu. Apibrėžiama, kokios skaičių sekos vadinamos aritmetinėmis progresijomis ir kokios – geometrinėmis progresijomis. Apibrėžiamos sąvokos: aritmetinės progresijos skirtumas, geometrinės progresijos vardiklis. Praktikuojamasi nustatyti ir pagrįsti, ar seka yra aritmetinė progresija, geometrinė progresija. Įrodomos ir įvairiems uždaviniams spręsti taikomos aritmetinės progresijos ir geometrinės progresijos $n$-tojo nario formulės, pirmųjų $n$ narių sumos formulės: ${a}_{n}={a}_{1}+d\left( n-1 \right)$, ${S}_{n}=\frac{{a}_{1} + {a}_{n}}{2}\cdot n=\frac{{2a}_{1} + d\left( n - 1 \right)}{2}\cdot n$, ${b}_{n}={b}_{1}\cdot {q}^{n - 1}$, ${S}_{n}=\frac{{b}_{1} \cdot \left( {q}^{n }- 1 \right)}{q - 1}=\frac{{b}_{n} \cdot q - {b}_{1}}{q - 1}$ ($n\in \mathbb{N}$, $q\neq 1$). Atliekami kūrybiniai projektiniai darbai (pavyzdžiui, Kocho snaigė, vėžlio ir bėgiko problema).

Apibrėžiama skaičių seka, skaičių sekos pirmasis narys, $n$-tasis narys, begalinė skaičių seka, baigtinė skaičių seka. Mokoma(si) skaičių sekas nurodyti $n$-tojo nario formule, rekurentiniu būdu. Apibrėžiama, kokios skaičių sekos vadinamos aritmetinėmis progresijomis ir kokios – geometrinėmis progresijomis, aritmetinės progresijos skirtumas, geometrinės progresijos vardiklis, aritmetinės progresijos $n$-tojo nario formulė, geometrinės progresijos $n$-tojo nario formulė. Nagrinėjamos aritmetinės progresijos ir geometrinės progresijos formulės: ${a}_{n}={a}_{1}+d\left( n-1 \right)$, ${a}_{n+1}=\frac{{a}_{n} + {a}_{n + 2}}{2}$, ${S}_{n}=\frac{{a}_{1} +{ a}_{n}}{2}\cdot n=\frac{{2a}_{1} + d\left( n-1 \right)}{2}\cdot n$ ($n\mathbb{\in N}$, $d\neq 0$);${ b}_{n}={b}_{1}\cdot {q}^{n-1}$, $\left| {b}_{n+1} \right|=\sqrt{{b}_{n}\cdot {b}_{n+2}}$, ${S}_{n}=\frac{{b}_{1} \cdot \left( {q}^{n}-1 \right)}{q-1}=\frac{{b}_{n} \cdot q-{b}_{1}}{q-1}$ ($n\mathbb{\in N}$, $q\neq 1$). Įrodomos aritmetinės progresijos ir geometrinės progresijos formulės ($n$-tojo nario, viduriniojo nario, pirmųjų $n$ narių sumos). Apibrėžiama, kokios geometrinės progresijos vadinamos nykstamosiomis. Nagrinėjant nykstamąją geometrinę progresiją $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \ldots , \frac{1}{{2}^{n}}, \ldots$ ($n\in \mathbb{N}$, $n\to \infty$), jos suma $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+ \ldots =1$ pagrindžiama geometriškai. Nagrinėjant begalinę dešimtainę periodinę trupmeną 0,(9), įsitikinama, kad ją galima užrašyti kaip begalinės nykstamosios geometrinės progresijos sumą, ir įrodoma, kad $0,\left( 9 \right)=1$. Įrodoma nykstamosios geometrinės progresijos sumos formulė $S=\frac{{b}_{1}}{1-q}$ ir mokoma(si) ja naudotis, sprendžiant uždavinius. Sprendžiami su aritmetine progresija ir geometrine progresija susiję realaus turinio uždaviniai. Atliekami kūrybiniai projektiniai darbai: Kocho snaigė, vėžlio ir bėgiko problema.

Plėtojama samprata apie funkcijas ir jų savybes. Apibrėžiamos sąvokos: lyginė funkcija; nelyginė funkcija; nei lyginė, nei nelyginė funkcija; periodinė funkcija. Nagrinėjant pavyzdžius, išsiaiškinama, kaip taikyti šiuos apibrėžimus, sprendžiant uždavinius, ir kaip pagal grafiką nustatyti funkcijos lyginumą, periodiškumą. Aptariama funkcijos $y=f\left( x \right)$ ($x\in {D}_{f}$) $\text{grafiko}$ transformacijos samprata. Naudojantis skaitmeninėmis priemonėmis, tyrinėjama, kaip atliekamos $y=f\left( x \right)+a$, $y=f\left( x+a \right)$, $y=-f\left( x \right)$, $y=a\cdot f\left( x \right)$ formulėmis aprašomos transformacijos. Atliekami tiriamieji, kūrybiniai darbai apie funkcijas, jų savybes, transformacijas ir jų pasireiškimą įvairaus konteksto situacijose.

Plėtojama samprata apie funkcijas ir jų savybes. Apibrėžiamos sąvokos: lyginė funkcija; nelyginė funkcija; nei lyginė, nei nelyginė funkcija; periodinė funkcija. Nagrinėjant pavyzdžius, išsiaiškinama, kaip taikyti šiuos apibrėžimus, sprendžiant uždavinius, ir kaip pagal grafiką nustatyti funkcijos lyginumą, periodiškumą. Įvedama sudėtinės funkcijos sąvoka, pateikiama tokių funkcijų pavyzdžių, mokoma(si) iš duotųjų funkcijų sudaryti sudėtines funkcijas. Nagrinėjamos funkcijų grafikų transformacijos ir mokoma(si), naudojantis žinomu funkcijos $y=f\left( x \right)$ grafiku, nubraižyti transformuotos funkcijos grafiką (naudojantis ne daugiau kaip dviejų transformacijų kompozicija). Naudojantis skaitmeninėmis priemonėmis, tyrinėjama, kaip atliekamos tokiomis formulėmis aprašomos transformacijos: $y=f\left( x \right)+a$, $y=f\left( x+a \right)$, $y=-f\left( x \right)$,$y=a\cdot f\left( x \right)$, $y=f\left( -x \right)$, $y=f\left( a\cdot x \right)$, $y=\left| f\left( x \right) \right|$. Mokoma(si) naudotis funkcijų grafikų eskizais, grafiškai sprendžiant lygtis, nelygybes ir dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais sistemas.

Apibrėžiamos ir tiriamos laipsninė funkcija $y=f\left( x \right)={x}^{n}$, kai $n\in \left\{ -1;1;2;3 \right\}$, šaknies funkcijos $y=f\left( x \right)=\sqrt[n]{x}$, kai $n\in \left\{ 2;3 \right\}$. Išsiaiškinami charakteringi taškai, priklausantys šių funkcijų grafikams, tiriamos funkcijų savybės. Mokoma(si) atpažinti funkcijas iš jų grafikų eskizų, parašyti funkcijų formules, kai nurodytas funkcijos grafikui priklausantis taškas. Nagrinėjami praktinių situacijų, kurios aprašomos ar modeliuojamos laipsninėmis ir šaknies funkcijomis, pavyzdžiai.

Tiriamos paprasčiausios natūraliojo laipsnio funkcijos $y=f\left( x \right)={x}^{n} ( n\in \mathbb{N})$, aptariant lyginio ir nelyginio laipsnio funkcijų savybes bei grafikų eskizus; paprasčiausių neigiamo sveikojo laipsnio funkcijų $y=f\left( x \right)={x}^{-n} ( n\in \left\{ 1;2;3;4 \right\})$ savybes ir grafikų eskizus. Tiriamos funkcijos $y=f\left( x \right)=\sqrt[n]{x}$ ($n\in \mathbb{N}$, $n>1$) aptariant lyginio ir nelyginio šaknies laipsnio funkcijų savybes bei grafikų eskizus. Mokoma(si) užrašyti šaknies funkcijos $y=f\left( x \right)=\sqrt[n]{x}$ ($n\in \mathbb{N}$, $n>1$) formulę, kai yra žinomos grafikui priklausančio taško, nesutampančio su tašku $\left( 1;1 \right)$, koordinatės. Naudojantis skaitmeninėmis priemonėmis, nagrinėjama, kaip kinta laipsninės ir šaknies funkcijų grafikai, priklausomai nuo laipsnio rodiklio ir šaknies laipsnio. Naudojantis šių funkcijų grafikų eskizais, mokoma(si) grafiškai spręsti rodiklines ir logaritmines lygtis ir nelygybes $a\cdot f\left( kx+b \right)+c\gtreqless 0$($a, k, b,c\mathbb{\in R}$, $a, k\neq 0$, $f\left( x \right)={x}^{n}$ ($n\in \left\{ -4;-3; -2;-1; 1; 2; 3; \ldots \right\}$), $f\left( x \right)=\sqrt[n]{x}$ ($n\mathbb{\in N}$, $n>1$)). Nagrinėjami praktinių situacijų, kurios aprašomos ar modeliuojamos laipsninėmis ar šaknies funkcijomis, pavyzdžiai.

Apibrėžiama rodiklinė funkcija $y=f\left( x \right)={a}^{x}$ ($a>0$, $a\neq 1$), logaritminė funkcija $y=f\left( x \right)=\log_{a} (x)$ ($a>0$, $a\neq 1$, $x>0$). Išsiaiškinami charakteringi taškai, priklausantys šių funkcijų grafikams, tiriamos funkcijų savybės. Mokoma(si) atpažinti funkcijas iš jų grafikų eskizų, parašyti funkcijų formules, kai nurodytas funkcijos grafikui priklausantis taškas. Nagrinėjami praktinių situacijų, kurios aprašomos ar modeliuojamos rodiklinėmis ar logaritminėmis funkcijomis, pavyzdžiai.

Apibrėžiama rodiklinė funkcija $y=f\left( x \right)={a}^{x} (a>0$, $a\neq 1$) logaritminė funkcija $y=f\left( x \right)=\log_{a} (x)$ ($a>0$, $a\neq 1$). Išsiaiškinami charakteringi taškai, priklausantys šių funkcijų grafikams, tiriamos funkcijų savybės. Mokoma(si) atpažinti funkcijas iš jų grafikų eskizų, parašyti funkcijų formules, kai nurodytas funkcijos grafikui priklausantis taškas. Naudojantis šių funkcijų grafikų eskizais, mokoma(si) grafiškai spręsti rodiklines ir logaritmines lygtis ir nelygybes $a\cdot f\left( kx+b \right)+c\gtreqless 0$ ($a, k, b,c\mathbb{\in R}$, $a, k\neq 0$, $f\left( x \right)={d}^{x}$, $f\left( x \right)=\log_{t} (x)$ ($t>0$, $t\neq 1$)). Nagrinėjami praktinių situacijų, kurios aprašomos ar modeliuojamos rodiklinėmis ar logaritminėmis funkcijomis, pavyzdžiai.

Naudojantis vienetiniu apskritimu, apibrėžiamos bet kokio posūkio kampo (išreikšto laipsniais) sinuso ir kosinuso funkcijos. Braižomi sinusoidės, kosinusoidės grafikų eskizai. Išsiaiškinami charakteringi taškai, priklausantys šių funkcijų grafikams, tiriamos funkcijų savybės. Mokoma(si) atpažinti funkcijas iš jų grafikų eskizų, rasti nurodytas sąlygas, atitinkančias argumento ir funkcijos reikšmes (pavyzdžiui, didžiausią funkcijos reikšmę nurodytame intervale). Praktikuojamasi, naudojantis grafiko eskizu, užrašyti visas argumento reikšmes, su kuriomis funkcija įgyja tam tikrą reikšmę, yra didėjančioji ar mažėjančioji, yra teigiamoji ar neigiamoji. Mokoma(si), naudojantis sinuso, kosinuso samprata ir (ar) pasitelkus grafinį metodą, spręsti $\sin( x)=a$, $\cos( x)=a$ pavidalo lygtis.

Nagrinėjamos pagrindinės trigonometrinės funkcijos $y=f\left( x \right)=\sin (x)$, $y=f\left( x \right)=\cos (x)$, $y=f\left( x \right)=\operatorname{tg} (x)$. Braižomi sinusoidės, kosinusoidės ir tangentoidės grafikų eskizai. Mokoma(si) rasti funkcijos apibrėžimo, reikšmių sritis, vaizduoti funkcijos grafiko eskizą, nustatyti funkcijos lyginumą, nustatyti funkcijos mažiausiąjį teigiamąjį periodą, rasti funkcijos nulius, rasti funkcijos didžiausiąją ir mažiausiąją reikšmes visoje apibrėžimo srityje ir nurodytame uždarame apibrėžimo srities intervale. Rasti funkcijos apibrėžimo srities reikšmes, kurioms esant funkcija yra didėjančioji ar mažėjančioji, yra teigiamoji ar neigiamoji. Mokoma(si) nustatyti funkcijos $y=a\cdot f\left( kx+b \right)+c$ ($a,k, b,c\mathbb{\in R}$, $a,k\neq 0$, $f\left( x \right)=\sin (x)$, $\cos (x)$, $\operatorname{tg} (x)$) savybes. Mokoma(si) grafiškai spręsti lygtis ir nelygybes $a\cdot f\left( kx+b \right)+c\gtreqless 0$ ($a,k, b,c\in \mathbb{R}$, $a,k\neq 0$, $f\left( x \right)=\sin (x)$, $\cos (x)$, $\operatorname{tg} (x)$.

Apibendrinamos, gilinamos ir plečiamos žinios apie racionaliąsias lygtis ir jų sprendimo būdus. Mokoma(si) atpažinti ir spręsti ${a\cdot x}^{n}+b=0$ (a, b – racionalieji skaičiai, $n\in \left\{ 2;3;4;5 \right\}$); $f\left( x \right)\cdot g\left( x \right)=0$ ($f\left( x \right)$ ir $g\left( x \right)$ – ne aukštesnio negu antrojo laipsnio daugianariai) pavidalo lygtis; lygtis, kurios suvedamos į kvadratines lygtis. Praktikuojamasi grafiškai spręsti $f\left( x \right)=g\left( x \right)$, kai $y=f\left( x \right)$ ir $y=g\left( x \right)$ yra tiesinė funkcija, kvadratinė funkcija, laipsninė funkcija, pavidalo lygtis. Pasitelkus pavyzdžius, aiškinamasi, kad tikslius lygties sprendinius gauname, spręsdami algebriškai, o grafiškai dažniausiai gaunami apytiksliai sprendiniai. Mokoma(si), sprendžiant tekstinius ar geometrijos uždavinius, sudaryti lygtį, ją išspręsti ir atrinkti uždavinio sąlygą atitinkantį atsakymą.

Nagrinėjamos aukštesnio negu antrojo laipsnio lygtys, kurias galima spręsti, suteikiant pavidalą $\left( ax+b \right)\left( cx+d \right)\ldots \left( kx+q \right)=0$, t. y. lygties $f\left( x \right)=0$ reiškinį $f\left( x \right)$ skaidant dauginamaisiais. Sprendžiamos bikvadratinės lygtys.

Apibrėžiama iracionaliosios lygties sąvoka. Mokoma(si) spręsti iracionaliąsias $b \cdot \sqrt{f\left( x \right)}+a=0$, $b\cdot \sqrt[3]{f\left( x \right)}=a$ ($f\left( x \right)$ – ne aukštesnio negu antrojo laipsnio daugianaris, $a$ ir $b$ – racionalieji skaičiai, $a\neq 0$) pavidalo lygtis. Analizuojama, kodėl ir kada gautuosius pertvarkytosios lygties sprendinius būtina tikrinti, kodėl tarp pertvarkytosios lygties sprendinių gali atsirasti tokių, kurie nėra duotosios iracionaliosios lygties sprendiniai. Sprendžiami uždaviniai, kuriuose situacijos modeliuojamos iracionaliosiomis lygtimis.

Apibrėžiama iracionaliosios lygties sąvoka. Nagrinėjamos iracionaliosios lygtys, kurioms galima suteikti pavidalą $\sqrt{f\left( x \right)}=g\left( x \right), \sqrt{f\left( x \right)}=\sqrt{g\left( x \right)}+a$. Analizuojama, kodėl ir kada gautuosius pertvarkytosios lygties sprendinius būtina tikrinti, kodėl tarp pertvarkytosios lygties sprendinių gali atsirasti tokių, kurie nėra duotosios iracionaliosios lygties sprendiniai. Mokoma(si) spręsti nesudėtingas iracionaliąsias lygtis $\sqrt[n]{f\left( x \right)}=a$ ($n=3, 4, \ldots$)

Apibrėžiama rodiklinės lygties sąvoka. Mokoma(si) algebriškai spręsti rodiklines lygtis, suvedant jas į pavidalą: ${a}^{f\left( x \right)}={a}^{r} (r\in \mathbb{Q} )$, ${a}^{f\left( x \right)}={a}^{g\left( x \right)}$ ($f\left( x \right)$, $g\left( x \right)$ – ne aukštesnio negu antrojo laipsnio daugianariai). Praktikuojamasi rodiklines lygtis spręsti grafiškai. Sprendžiami uždaviniai, kuriuose situacijos modeliuojamos rodikline funkcija (pavyzdžiui, ${f\left( n \right)=k\cdot a}^{n}$, $S\left( n \right)={S}_{0}\cdot {\left( 1\pm \frac{p}{100} \right)}^{n}$).

Nagrinėjamos nesudėtingos lygtys, kurių nežinomasis yra laipsnio (laipsnių) rodiklyje (rodikliuose). Aiškinama(si), kad tokias lygtis patogu spręsti, suteikiant joms pavidalą ${a}^{f\left( x \right)}={a}^{g\left( x \right)}$ ($a>0, a\neq 1$). Mokoma(si) spręsti rodiklines lygtis $t\cdot {a}^{2x}+k\cdot {a}^{x}+p=0$ ($t, k, p\mathbb{\in R}$), kurias patogu spręsti, įvedant naują nežinomąjį.

Apibrėžiama logaritminės lygties sąvoka. Mokoma(si) spręsti logaritmines $\log_{a} (f\left( x \right))+b=0$, $\log_{a} (f\left( x \right))=\log_{a} (g\left( x \right))$ ($f\left( x \right)$ ir $g\left( x \right)$ – ne aukštesnio negu antrojo laipsnio daugianariai). Analizuojama, kada ir kodėl būtina atsižvelgti į logaritmo apibrėžimo sritį, gautuosius sprendinius tikrinti (juos įrašant į duotąją lygtį). Sprendžiami uždaviniai, kuriuose situacijos modeliuojamos logaritminėmis lygtimis.

Nagrinėjamos nesudėtingos lygtys, kurių nežinomasis yra logaritmo(-ų) reiškinyje(-iuose). Aiškinama(si), kad tokias lygtis patogu spręsti, suteikiant joms pavidalą $\log_{a} (f\left( x \right))=\log_{a} (g\left( x \right))$. Analizuojama, kada ir kodėl būtina atsižvelgti į logaritmo apibrėžimo sritį, gautuosius sprendinius tikrinti (juos įrašant į duotąją lygtį). Nagrinėjamos nesudėtingos logaritminės lygtys, kurių nežinomasis yra logaritmo(-ų) pagrindo reiškinyje(-iuose), logaritmo reiškinyje ir logaritmo pagrindo reiškinyje. Mokoma(si) spręsti logaritmines lygtis, kurias patogu spręsti, įvedant naują nežinomąjį.

Apibendrinamos ir gilinamos žinios algebriškai sprendžiant įvairias dviejų lygčių su dviem nežinomaisiais sistemas. Mokoma(si) įvairaus konteksto situacijas modeliuoti lygčių sistemomis.

Nagrinėjant kvadratines nelygybes, atskleidžiama intervalų metodo esmė. Paaiškinama, kad intervalų metodą patogu taikyti, sprendžiant ir kitas nelygybes. Apibrėžiama racionaliosios nelygybės sąvoka. Mokoma(si) spręsti paprastas trupmenines racionaliąsias nelygybes intervalų metodu. Praktikuojamasi spręsti paprastas nelygybių sistemas (su vienu nežinomuoju), kurių viena nelygybė yra tiesinė, o kita – kvadratinė arba trupmeninė racionalioji.

Aiškinama(si) intervalų metodo esmė ir universalumas. Nagrinėjamos antrojo laipsnio, aukštesnio negu antrojo laipsnio nelygybės, praktikuojamasi jas spręsti intervalų metodu. Mokoma(si) trupmenines racionaliąsias nelygybes spręsti, suteikiant pavidalą $\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}\gtreqless 0$, naudojantis intervalų metodu arba nelygybę keičiant nelygybių sistemų visuma. Mokoma(si) spręsti dviejų racionaliųjų nelygybių sistemas bei mišrias lygčių ir nelygybių (su vienu nežinomuoju) sistemas.

Apibrėžiamos rodiklinės nelygybės. Mokoma(si) spręsti rodiklines nelygybes, kurių bendri pavidalai yra ${a}^{f\left( x \right)}\gtreqless {a}^{r} \left( r\in \mathbb{Z} \right)$, ${a}^{f\left( x \right)}\gtreqless {a}^{g\left( x \right)}$ ($f\left( x \right)$ ir $g\left( x \right)$ – ne aukštesnio negu pirmojo laipsnio vienanariai, dvinariai).

Nagrinėjamos nesudėtingos nelygybės, kurių nežinomasis yra laipsnio (laipsnių) rodiklyje (rodikliuose). Aiškinama(si), kad tokias nelygybes patogu spręsti, suteikiant joms pavidalą ${a}^{f\left( x \right)}\gtreqless {a}^{g\left( x \right)}$, o tada pereinant prie rodiklių nelygybės.

Apibrėžiamos logaritminės nelygybės. Mokoma(si) spręsti logaritmines nelygybes, kurių bendri pavidalai yra $\log_{a} (x)\gtreqless b$, $\log_{a} (f\left( x \right))\gtreqless \log_{a} (g\left( x \right))$ ($f\left( x \right)$ ir $g\left( x \right)$ – ne aukštesnio negu pirmojo laipsnio vienanariai, dvinariai). Analizuojama, kada ir kodėl būtina atsižvelgti į logaritmo apibrėžimo sritį.

Nagrinėjamos nesudėtingos nelygybės, kurių nežinomasis yra logaritmo (logaritmų) reiškinyje (reiškiniuose). Aiškinama(si), kad tokias nelygybes patogu spręsti, suteikiant joms pavidalą $\log_{a} (f\left( x \right))\gtreqless \log_{a} (g\left( x \right))$, o tada pereinant prie logaritmų reiškinių nelygybės. Analizuojama, kada ir kodėl būtina atsižvelgti į logaritmo apibrėžimo sritį.

Nagrinėjamos nesudėtingos lygtys su moduliais, kurioms galima suteikti pavidalą $\left| f\left( x \right) \right|=a$, $\left| f\left( x \right) \right|=g\left( x \right)$. Mokoma(si) tokias lygtis spręsti, naudojantis modulio samprata.

Prisimenama, kad lygtyje gali būti ir daugiau negu vienas nežinomasis. Pateikiama tokių lygčių su dviem nežinomaisiais pavyzdžių: $ax+by+c=0$ $(a, b, c\mathbb{\in R)}$– tiesės lygtis; ${\left( x-a \right)}^{2}+{\left( y-b \right)}^{2}={r}^{2}$, – apskritimo lygtis ($a, b$ – apskritimo centro koordinatės, $r$ – apskritimo spindulio ilgis); mokoma(si) rasti ir užrašyti tokios lygties kelis sprendinius bei visų sprendinių aibę. Mokoma(si) spręsti daugiau negu dviejų lygčių su daugiau negu dviem nežinomaisiais sistemas. Nagrinėjami ir sprendžiami tekstiniai uždaviniai, kuriuos sprendžiant gaunamos tokios sistemos.

Nagrinėjamos nesudėtingos nelygybės su moduliais, kurioms galima suteikti pavidalą $\left| f\left( x \right) \right|\gtreqless a$, $\left| f\left( x \right) \right|\gtreqless g\left( x \right)$. Mokoma(si) tokias nelygybes spręsti, naudojantis modulio samprata.

Apibrėžiamas kampas tarp vektorių. Apibrėžiama dviejų vektorių skaliarinė sandauga, mokoma(si) skaliariškai dauginti vektorius. Įrodoma, kad vektoriaus kvadratas (vektoriaus skaliarinė sandauga su pačiu savimi) yra lygus vektoriaus ilgio kvadratui. Primenama, kaip randama vektorių suma (naudojantis trikampio ir lygiagretainio taisyklėmis; paaiškinama daugiakampio taisyklė), vektorių skirtumas, vektoriaus ir skaičiaus sandauga. Mokoma(si) nurodytą daugiakampio vektorių išreikšti kitais nurodytais to daugiakampio vektoriais. Apibrėžiama ir paaiškinama dviejų vektorių skaliarinė sandauga, mokoma(si) skaliariškai dauginti vektorius, pabrėžiant, kad skaliarinės sandaugos rezultatas yra skaičius, o ne vektorius. Veiksmams su vektoriais taikomos žinomos veiksmų su skaičiais savybės: $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$, $\vec{a}+\left( \vec{b}+\vec{c} \right)=\left( \vec{a}+\vec{b} \right)+\vec{c}$, $c\cdot \left( \vec{a}+\vec{b} \right)=c\cdot \vec{a}+c\cdot \vec{b}$, $\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{a}$, $\left( c\cdot \vec{a} \right)\cdot \vec{b}=c\cdot \left( \vec{a}\cdot \vec{b} \right)$, $\left( \vec{a}+\vec{b} \right)\cdot \vec{c}=\vec{a}\cdot \vec{c}+\vec{b}\cdot \vec{c}$. 35.3.2. Vektoriai stačiakampėje koordinačių plokštumoje. Mokoma(si) nusakyti vektorių, nurodant jo pradžios ir pabaigos koordinates; apibrėžiant koordinačių plokštumos taško vietos vektorių ir mokantis bet kurį koordinačių plokštumos vektorių išreikšti jam lygiu taško vietos vektoriumi. Mokoma(si) apskaičiuoti vektoriaus ilgį ir įrodyti vektoriaus ilgio formulę. Mokoma(si) apskaičiuoti vektorių sumą, skirtumą, sandaugą su skaičiumi bei skaliarinę sandaugą, paaiškinant atliekamų veiksmų prasmingumą. Apibrėžiami koordinačių ašių vienetiniai vektoriai ir mokoma(si) jais reikšti koordinačių plokštumos vektorius. Apibrėžiami kolinearieji ir statmenieji vektoriai. Analizuojamos dviejų vektorių kolinearumo ir statmenumo sąlygos bei sprendžiami su šiais faktais susiję uždaviniai.