Pasiruošk VBE 1 ir 2 - pamoka 5 — klausimai ir atsakymai

Šiame įraše rasite visus 54 testo klausimus ir jų atsakymus. Norite spręsti interaktyviai? Bandykite testą čia.

Klausimai

1.

Apskaičiuokite išvestinę:

$(7)' = ?$

2.

Raskite funkcijos išvestinę:

$f(x) = 2x^3 - 5x + 4$

3.

Raskite funkcijos išvestinę:

$f(x) = \sin x + \cos x$

4.

Raskite funkcijos išvestinę:

$f(x) = e^x - \ln x$

5.

Raskite funkcijos išvestinę:

$f(x) = x^2 \cdot \sin x$

6.

Raskite funkcijos išvestinę:

$f(x) = x^3 \cdot \ln x$

7.

Raskite funkcijos išvestinę:

$f(x) = \frac{x+1}{x-1}$

8.

Duota funkcija $f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 5$.

Apskaičiuokite $f'(2)$.

9.

Duota funkcija $f(x) = (x^2 - 3)e^x$.

Apskaičiuokite $f'(0)$.

10.

Duota funkcija $f(x) = \frac{2x - 1}{x + 1}$.

Apskaičiuokite $f'(2)$.

11.

Duota funkcija $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$.

Parodykite, kad $f'(x) = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$.

12.

Žinoma, kad $f'(x_0) = 5$. Koks yra funkcijos $f(x)$ grafiko liestinės taške $x_0$ krypties koeficientas $k$?

13.

Funkcijos $f(x) = x^2$ grafiko liestinė yra lygiagreti tiesei $y = 6x + 5$. Raskite lietimosi taško $x$ koordinatę $x_0$.

14.

Raskite funkcijos $f(x) = x^2 - 6x + 5$ grafiko liestinės taške $x_0 = 4$ lygtį.

15.

Žinoma, kad funkcijos $f$ grafikas eina per tašką $(2; 5)$ ir kad $f'(2) = 3$.

Užrašykite šio grafiko liestinės taške $x_0 = 2$ lygtį.

16.

Raskite funkcijos $y = (2x+1)^5$ išvestinę.

17.

Raskite funkcijos $y = \sin(3x)$ išvestinę.

18.

Raskite funkcijos $y = \ln(x^2 + 1)$ išvestinę.

19.

Raskite funkcijos $y = \sqrt{x^2 + 1}$ išvestinę.

20.

Raskite funkcijos $f(x) = (x^3 + 2x)^4$ išvestinę.

21.

Duota funkcija $f(x) = e^{x^2 - 3x}$.

Apskaičiuokite $f'(0)$.

22.

Raskite funkcijos $f(x) = \cos^2(3x)$ išvestinę.

23.

Raskite funkcijos $f(x) = x^3 - 3x$ didėjimo intervalus.

24.

Raskite funkcijos kritinius taškus:

$f(x) = x^2 - 6x + 5$

25.

Raskite funkcijos $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5$ didėjimo intervalus.

26.

Nustatykite, su kuriomis $x$ reikšmėmis funkcija $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$ didėja.

27.

Raskite funkcijos $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ maksimumo taško abscisę.

28.

Raskite funkcijos $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ mažiausią reikšmę intervale $[0; 3]$.

29.

Iš kvadratinio kartono lakšto, kurio kraštinė $18$ cm, kampuose iškerpami vienodi kvadratėliai (kraštinė $x$ cm) ir kraštai užlenkiami — gaunama atvira dėžutė. Apskaičiuokite didžiausią galimą dėžutės tūrį (cm³).

30.

Įmonės pelnas (eurais), pagaminus ir pardavus $x$ vienetų produkcijos, apskaičiuojamas pagal formulę $P(x) = -2x^2 + 120x - 800$.

Kiek vienetų produkcijos reikia pagaminti, kad pelnas būtų didžiausias?

31.

Projektuojama stačiakampio gretasienio formos dėžutė (žr. pav.). Žinoma, kad briaunų $a$, $b$ ir $c$ ilgių suma lygi $27$ cm, o briauna $b$ yra du kartus ilgesnė už briauną $a$.

Trumpesniąją pagrindo kraštinę $a$ pažymėkime $x$ cm (čia $0 < x < 9$). Parodykite, kad dėžutės tūrį $V$ (cm$^3$) galima apskaičiuoti pagal formulę $V(x) = 54x^2 - 6x^3$.

32.

Stačiakampio gretasienio formos dėžutės (žr. pav.) tūris $V$ (cm$^3$) išreiškiamas funkcija $V(x) = 54x^2 - 6x^3$ (čia $0 < x < 9$). Apskaičiuokite didžiausią galimą dėžutės tūrį (cm$^3$).

33.

Ar funkcija $F(x) = x^3$ yra funkcijos $f(x) = 3x^2$ pirmykštė funkcija?

34.

Kiek pirmykščių funkcijų turi funkcija $f(x) = 2x$?

35.

Raskite funkcijos $f(x) = 4x - 3$ pirmykštę funkciją $F(x)$, kai žinoma, kad $F(1) = 2$.

36.

Apskaičiuokite:

$\int x \, dx$

37.

Apskaičiuokite:

$\int (4x^3 - 6x + 2)\,dx$

38.

Apskaičiuokite:

$\int \left(3e^x - \frac{2}{x}\right)dx$

39.

Apskaičiuokite:

$\int \left(2\cos x + \frac{5}{\cos^2 x}\right)dx$

40.

Apskaičiuokite integralą:

$\int (2x+1)^3 \, dx$

41.

Apskaičiuokite integralą:

$\int \sin(5x) \, dx$

42.

Apskaičiuokite integralą:

$\int e^{5x+1}\,dx$

43.

Apskaičiuokite:

$\int_{0}^{2} (3x^2 + 4x - 1) \, dx$

44.

Žinoma, kad $\int_{0}^{5} f(x) \, dx = 12$ ir $\int_{0}^{3} f(x) \, dx = 7$.

Raskite $\int_{3}^{5} f(x) \, dx$.

45.

Apskaičiuokite:

$\int_{0}^{2} (3x^2 - 2x)\,dx$

46.

Apskaičiuokite:

$\int_{0}^{1} (e^x - 2x)\,dx$

47.

Žinoma, kad $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = 7$ ir $\int_{a}^{b} g(x)\,dx = 3$.

Apskaičiuokite $\int_{a}^{b} \left(f(x) - 2g(x)\right)dx$.

48.

Apskaičiuokite figūros, kurią riboja funkcijos $y = \sin x$ grafikas ir $Ox$ ašis intervale $[0; \pi]$, plotą.

49.

Apskaičiuokite figūros, kurią riboja funkcijų $y = x$ ir $y = x^2$ grafikai, plotą.

50.

Apskaičiuokite figūros, kurią riboja funkcijos $y = x^2 - 4x + 3$ grafikas ir $Ox$ ašis, plotą.

51.

Duota funkcija $f(x) = -x^2 + 4x$.

Raskite funkcijos grafiko susikirtimo su $Ox$ ašimi taškų abscises ($x_1 < x_2$).

52.

Duota funkcija $f(x) = -x^2 + 4x$.

Parašykite šios funkcijos grafiko liestinės taške $x_0 = 1$ lygtį.

53.

Duota funkcija $f(x) = -x^2 + 4x$.

Apskaičiuokite figūros, kurią riboja funkcijos grafikas ir $Ox$ ašis, plotą.

54.

Duota funkcija $f(x) = -x^2 + 4x$. Figūra, kurią riboja funkcijos grafikas ir $Ox$ ašis, sukama apie $Ox$ ašį.

Apskaičiuokite gauto sukinio tūrį.

Atsakymai

1. $Ats=$ $0$

2. B) $6x^2-5$

3. A) $\cos x-\sin x$

4. C) $e^x-\frac{1}{x}$

5. E) $2x\sin x+x^2\cos x$

6. C) $3x^2\ln x+x^2$

7. D) $-\frac{2}{(x-1)^2}$

8. B) $7$

9. C) $-3$

10. A) $\frac{1}{3}$

11. „Parodykite / įrodykite" tipo užduotis — įsivertinkite savarankiškai (žr. testo sprendimą).

12. $k=$ $5$

13. $x_0=$ $3$

14. B) $y = 2x - 11$

15. C) $y = 3x - 1$

16. B) $10(2x+1)^4$

17. D) $3\cos(3x)$

18. D) $\frac{2x}{x^2+1}$

19. C) $\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

20. B) $4(3x^2+2)(x^3+2x)^3$

21. B) $-3$

22. C) $-3\sin(6x)$

23. B) $(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$

24. $x=$ $3$

25. B) $(-\infty; -1) \cup (2; +\infty)$

26. B) $x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$

27. C) $-1$

28. B) $-2$

29. B) $432$

30. C) $30$

31. „Parodykite / įrodykite" tipo užduotis — įsivertinkite savarankiškai (žr. testo sprendimą).

32. $V =$ $648$

33. A) $\text{Taip, yra pirmykštė}$

34. D) $\text{Begalybę}$

35. B) $F(x) = 2x^2 - 3x + 3$

36. C) $\frac{x^2}{2} + C$

37. C) $x^4 - 3x^2 + 2x + C$

38. B) $3e^x - 2\ln|x| + C$

39. D) $2\sin x + 5\operatorname{tg} x + C$

40. A) $\frac{(2x+1)^4}{8} + C$

41. B) $-\frac{\cos(5x)}{5} + C$

42. B) $\frac{e^{5x+1}}{5} + C$

43. $Ats.=$ $14$

44. $Ats.=$ $5$

45. B) $4$

46. C) $e - 2$

47. B) $1$

48. C) $2$

49. B) $\frac{1}{6}$

50. D) $\frac{4}{3}$

51. $x_1=$ $0$  ;  $x_2=$ $4$

52. C) $y = 2x + 1$

53. $S=$ $32/3$

54. B) $\frac{512\pi}{15}$